Signe d'un expression

Soit \(m\) et \(p\) deux réels. On considère la fonction affine \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=mx+p\).
Si \(m=0\), alors, pour tout réel \(x\), on a \(f(x)=p\). Donc \(f\) a le même signe que le réel \(p\) sur \(\mathbb{R}\).
On suppose que \(m\neq 0\) dans la suite.

Propriété

On s'intéresse au signe de \(f(x)\), c'est-à-dire au signe de \(mx+p\).
On obtient le tableau de signe  de \(f(x)\) suivant :

Démonstration

On s'intéresse au signe de \(f(x)\), c'est-à-dire au signe de \(mx+p\).
On a \(f(x)=0\Leftrightarrow mx+p=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{p}{m}\) .
On a \(f(x)\geqslant 0\Leftrightarrow \begin{array}{l}mx+p \geqslant 0 &\Leftrightarrow mx \geqslant -p\\ & \end{array}\)
Si \(m>0\), alors \(f(x)\geqslant 0\Leftrightarrow \begin{array}{l}x\geqslant -\dfrac{p}{m} \end{array}\)
Si \(m<0\), alors \(f(x)\geqslant 0\Leftrightarrow \begin{array}{l}x\leqslant-\dfrac{p}{m} \end{array}\)

Exemple 1

On cherche le signe de \(f(x)=2x-5\).
On résout \(f(x)=0\Leftrightarrow2x-5=0\Leftrightarrow 2x=5\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}\).
On a \(m=2\) donc \(m>0\).
On dresse ensuite le tableau de signe de \(f(x)\) à l'aide de la propriété ci-dessus.

Remarque

La résolution de l'inéquation \(2x-5\geqslant 0\) conduit au même résultat :
  \(\begin{array}{l}2x-5 \geqslant 0 &\Leftrightarrow 2x \geqslant 5\\ & \Leftrightarrow x \geqslant \dfrac{5}{2} \ \text{(avec }2>0)\end{array}\)
Donc \(2x-5\) est positif lorsque \(x\geqslant \dfrac{5}{2}\) ce qui est bien représenté par le signe + dans notre tableau.

Exemple 2

On cherche le signe de \(g(x)=-4x+7\).
On résout \(g(x)=0\Leftrightarrow-4x+7=0\Leftrightarrow -4x=-7\Leftrightarrow x=\dfrac{-7}{-4}=\dfrac{7}{4}\).
On a \(m=-4\) donc \(m<0\).
On dresse ensuite le tableau de signes à l'aide de la propriété ci-dessus.